Ligne tangentes à quatre triangles

H. Brönnimann, O. Devillers, S. Lazard, and F. Sottile

Nous considérons la question géométrique simple suivante: Quel est le nombre maximal de lignes tangentes à quatre triangles? (C’est-à-dire que nous comptons les lignes qui rencontrent une arête de chaque triangle.) Par souci de simplicité, supposons que les triangles occupent une position générale appropriée, en ce sens que la relaxation algébrique consistant à remplacer les arêtes par des lignes de support ne présente que de nombreuses solutions . (En fait, 162 solutions complexes distinctes.)

    Nous demandons le nombre maximum possible, car le minimum est zéro: si les quatre triangles sont suffisamment éloignés, par exemple aux quatre coins d’une très grande salle, il n’y aura pas de telles transversales communes.

    Actuellement, la meilleure réponse à cette question est que le nombre maximum est compris entre 62 et 162, avec une limite supérieure de 156 si les triangles sont disjoints. La limite supérieure n’est certainement pas la meilleure possible, et nous doutons également de l’optimalité de la limite inférieure. Cette limite inférieure est due à une construction que nous décrivons dans cette page (liée à l’image ci-dessous à droite). Cette construction implique la perturbation de quatre segments de droite ayant 2 transversales communes et chacun des triangles résultants a un angle extrêmement petit – ils sont assez minces. Notre meilleure construction impliquant quatre triangles gras a 40 transversales communes. Une description de la recherche sur ordinateur que nous avons utilisée pour trouver cet exemple est liée à l’image de gauche ci-dessous, ainsi qu’à des animations.

    Cette page WWW accompagne notre article sur ce sujet, Sur le nombre de tangentes à quatre triangles dans un espace tridimensionnel.
Les images sont liées à une discussion ultérieure

Animations: 841 kB   2100 kB   4198 kB.

Basé sur des travaux soutenus par la National Science Foundation dans le cadre de la subvention CAREER DMS-0134860.

Date de rédaction: 30 décembre 2004 de Frank Sottile


Publié dans Edu

Laisser un commentaire

Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *